Определение предела интеграла: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Предположим, что $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ является непрерывным. Определите, существует ли следующий предел

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Так как $ f (x) $ и $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ непрерывны, то их произведение интегрируемо по Риману. Однако $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ не существует, поэтому он не является равномерной сходимостью и мы не можем пройти предел внутри интеграла. Оно также не удовлетворяет условиям теоремы Дини. Я не знаю, как сделать правильный аргумент для этой проблемы, но я думаю, что я сказал, что предел не существует. Я ценю любую помощь.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Лемма Римана-Лебега . Заметим, что $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Спасибо, я думаю, я могу закончить это сейчас
Teepeemm 07/31/2017
Это кажется более продвинутым, чем требует проблема.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Несколько иной способ решения этого - использовать следующее наблюдение.

Proposition. Если $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ является непрерывным, $ g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ является непрерывным и $ L $ -периодическим, то

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Предполагая это утверждение, ответ следует сразу же, поскольку $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ - $ 2 \ pi $ -периодический и

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Интуиция очень ясна: если $ n $ очень велико, то на подынтервале $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $ мы имеем

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Поэтому, игнорируя подробности, мы бы

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $$

    и принимая предел при $ n \ to \ infty $, правая часть сходится к искомому значению. Заполнение деталей довольно обычное.

  3. Предположение о непрерывности - это просто техническая установка для простого доказательства, и вы можете расслабиться в определенной степени, заплатив больше усилий.


Michael Hartley 07/31/2017.

Вы не можете заключить, что $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ не существует только потому, что $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ нет. Например, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ не существует, но $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$, так как интеграл равен нулю для всех $ n $.

Я боюсь, что моя полезность закончится на данный момент, хотя я думаю, что предел существует: вы должны, если не что иное, иметь возможность найти некоторый аргумент эпсилон-треугольник, выражающий интеграл как сумму связки интегралов на интервалах длины $ \ гидроразрыва {2 \ пи} {п} $. Это может быть очень плохой способ решить проблему.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags