Функции, которые всегда меньше их производных

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Мне было интересно, есть ли функции, для которых $$ f '(x)> f (x) $$ для всех $ x $. Только примеры, о которых я мог думать, были $ e ^ x - c $ и просто $ - c $, в которых $ c> 0 $. Кроме того, есть ли какое-либо значение в функции, которая всегда меньше ее производной?


Редактировать: Большое спасибо за ответы. Кажется, что почти все функции, которые применяются, являются экспоненциальными по своей природе ... Есть ли еще примеры вроде - 1 / x?

Опять же есть какие-либо приложения / физические проявления этих функций? [Например, объект со скоростью, всегда превышающей ее положение / ускорение, всегда больше, чем его скорость]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Сверху моей головы - любая ограниченная, монотонно возрастающая функция в нижней полуплоскости.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ответ Ixion дает полное, наиболее общее решение (хотя некоторые семейства решений могут быть доступны для записи в более приятных формах) и должны быть приняты.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Но, пожалуйста, исправьте заголовок, изменив «его» на «их». Как написано название, на мгновение казалось, что вы рассматриваете производные от всех заказов. И теперь мне любопытно об этом вопросе, ха-ха!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Если $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, мы можем определить $ f (x) = y' (x) -y (x) $, положительный для всех $ х $. Предположим, что $ y '(x) $ является непрерывной функцией, так что $ f (x) $ также является непрерывной. Теперь с помощью этого элемента можно построить дифференциальное уравнение $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$, а его решения задаются: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (с + \ int_ {x_0} ^ {х} е ^ {- s} е (s) DS \ справа) $$

Опять же есть какие-либо приложения / физические проявления этих функций? [Например, объект со скоростью, всегда превышающей ее положение / ускорение, всегда больше, чем его скорость]

Я не знаю, есть ли применение этого интересного свойства, но я уверен, что вы не можете сравнивать скорость с позицией, потому что они не являются однородными величинами.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Предполагая $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ F '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Таким образом, вы можете превратить любую функцию $ g $, где $ g '(x)> 1 $ в этот тип функции, взяв ее экспоненту:

$ \ Frac {d} {dx} g (x)> 1 \ означает \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ означает \ frac {d} {dx} e ^ {г (х)}> е ^ {г (х)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Вы принимаете $ f (x)> 0 $ в начале
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Тогда он мог бы просто использовать $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ в качестве отправной точки для любого заданного $ f $. Таким образом, всегда существует $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ответ Иксиона дает полное обобщение, позволяя $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ быть любой функцией, всюду положительной.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Нет, он предполагает непрерывность $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Я почти уверен, что условие на самом деле не требуется.

Peter 07/28/2017.

Простым примером является $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Более интересной задачей является найти функцию $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, образ которой $ \ mathbb {R} $ и удовлетворяет $ f '(x)> f (x) $ Для всех $ x \ in \ mathbb {R} $. Одна из этих функций

$$ \ зп (х), $$

потому как

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ для всех $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Возьмем $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Тогда для $ \ alpha> 1 $ имеем $ f '(x)> f (x) $ и для $ \ alpha <1 $ имеем $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Как насчет того, если вы посмотрите на него как на дифференциальное уравнение. Сказать

$ Y '= y + 1 $

Которая имеет решение $ y = Ce ^ x -1 $

Или $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

Которая имеет решение $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Или $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

Которая имеет решение $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ответ Иксиона обобщает это на $ y '(x) = y (x) + f (x) $ для любого $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - я должен удалить свой ответ?
Robin Saunders 07/30/2017
Я не очень разбираюсь в этикете Stack Exchange, но я предполагаю, что с тех пор, как вы отправили свой ответ первым, и он содержит конкретные примеры не в другом ответе, должно быть хорошо оставить его.

Eric Towers 07/30/2017.

very простой пример: $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Релевантно для вашего редактирования: это вообще не экспоненциально.

Другие примеры, которые не сразу экспоненциальны:

  • $ \ Frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ везде отрицательно и всюду строго монотонно возрастает, поэтому всюду меньше его производной.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ также всюду отрицательно и всюду строго монотонно возрастает. (Они очень схожи, поскольку они представляют собой сдвинутые копии CDF (стандартно / нормированные) распределения Коши и Гаусса).
  • $ \ Frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ - нижняя ветвь гиперболы с осью $ x $ и линией $ y = x $ as асимптоты. Оно везде отрицательно и везде строго монотонно возрастает.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

См., $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
В более общем случае любая отрицательная функция с положительной производной ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Другим простым примером может быть $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Неравенство $$ f '(x)> f (x) $$ эквивалентно $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Итак, общее решение - взять любую дифференцируемую функцию $ g (x) $ с $ g '(x)> 0 $ и положить $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Обратите внимание, что ничего не предполагается относительно $ f $, кроме дифференцируемости, что необходимо, чтобы задать вопрос в первую очередь.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Для любой дифференциальной функции $ f $, для которой оба $ f (x) $ и $ f '(x) $ ограничены конечными диапазонами, $ f' (x) - f (x) $ также ограничена конечным диапазоном, Поэтому существует $ c $, для которого $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Таким образом, может быть создана функция $ g (x) = f (x) - c $, для которой $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ или $ g' (x )> G (x) \ \ forall \ x $.

Например, это справедливо для многих дифференциальных периодических функций.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Последнее утверждение неверно, так как не всякая дифференцируемая периодическая функция имеет ограниченную производную.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Адайх. Ты прав. Я рассматривал периодические функции, которые были дифференцируемы в каждой точке $ \ mathbb {R} $, но я понимаю, что функция должна быть дифференцируемой во всех точках своей области, чтобы считаться дифференцируемой. Я обновил свой ответ.
Adayah 07/30/2017
Я имею в виду, что функция $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ может быть периодической и дифференцируемой в каждой точке $ a \ in \ mathbb {R} $ и по-прежнему иметь неограниченную производную.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah У вас есть пример такой функции?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Я имею в виду, что если функция $ f $ дифференцируема всюду, ее производная $ f '$ должна существовать всюду, а $ f' $ должна быть непрерывной (поскольку, если она содержит какой-либо разрывы, $ f '$ не может существовать в этой точке ). Это делает невозможным неограниченное $ f '$, верно?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Майк ответил на ваш дополнительный вопрос: «Есть ли физические примеры этого?» Включен dromastyx.

В его примере показаны гиперболические функции, которые точно описывают физическое явление «солитонов».

Солитоны - это одиночные волны, такие как солнечные вспышки, цунами и т. Д. Примером нахождения таких волн, скрытых в известных уравнениях, является:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags