Большинство математиков знают большинство тем в математике?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Сколько тем вне его специализации есть средний математик, знакомый?

Например, дает ли средний теоретик группы достаточно знаний о дифференциальных уравнениях с частными производными для прохождения теста на курсе PDE на уровне выпускников?

Кроме того, каковы «обязательные» темы для любого стремящегося математика? Зачем?

Будучи аспирантом, я должен больше сосредоточиться на широте (выбирая широкий круг классов, которые относительно не связаны друг с другом, например, теория групп и PDE) или глубина (например, теория измерения и функциональный анализ)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Как вы знаете, теория групп используется при изучении уравнений с частными производными, в основном для использования любых симметрий, которые может иметь PDE.
53 Cauchy 07/27/2017
Нет, средний теоретик группы получит жирный $ 0 $ на курсе PDE на уровне выпускников (он, might , изучил PDE в какой-то момент, но он / она определенно забыли все).
23 Cauchy 07/27/2017
В целом, однако, большинство математиков немного подвержены различным темам, поэтому, если им нужен определенный инструмент из какой-либо другой ветви, они могут (относительно) быстро расчистить материал и прочитать соответствующую литературу.
1 owjburnham 07/27/2017
Я подозреваю, что это может быть специфичным для страны, и поэтому стоит пометки? Мне (в Великобритании) никогда не приходилось проходить ни одного теста в качестве аспиранта (слава богу).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, я чаще слышал, что сказал о Пуанкаре.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Ваш вопрос философский, а не математический.

Один мой коллега рассказал мне следующую метафору / иллюстрацию однажды, когда я был студент-бакалавр, и он получил докторскую степень. И так как прошло несколько лет, я могу рассказать.

Трудно это записать. Подумайте о том, как рисовать огромный круг в воздухе, увеличивать масштаб и снова рисовать огромный круг.

Это все знание:

[--------------------------------------------] 

Все знания содержат много, и математика - это лишь крошечная часть, отмеченная крестиком:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Математические исследования разделены на многие темы. Алгебра, теория чисел и многие другие, но и численная математика. Вот эта крошечная часть здесь:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Численная математика делится на несколько тем, например, на число ODE, оптимизацию и т. Д. И одна из них - FEM-Theory для PDE.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

И это часть знаний, где я чувствую себя комфортно, говоря: «Я знаю немного больше, чем большинство других людей в мире».
Теперь, спустя несколько лет, я продолжу эту иллюстрацию еще один шаг: мои знания в этой части скорее похожи

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Я до сих пор знаю только «немного» об этом, большинство из которых я не знаю, и большинство из того, что я узнал, уже забыто.

(На самом деле FEM-Theory по-прежнему представляет собой огромную тему, которая содержит, например, различные типы PDE [эллиптические, параболические, гиперболические, другие]. Таким образом, вы можете сделать «масштабирование» в несколько раз больше.)


Еще одна небольшая мудрость: кто-то, кто закончил школу, думает, что он все знает. Как только он получил степень магистра, он знает, что он ничего не знает. И после доктора философии он знает, что все вокруг него ничего не знают.


Задавая вопрос о вашей направленности: IMO использует первые несколько лет для изучения тем в математике, чтобы узнать, что вам нравится. Затем пойдите глубже - если вы нашли то, что вам нравится.

Существуют ли «знающие» темы? Есть основы, которые вы изучаете в первых нескольких терминах. Без них трудно «говорить» и «делать» математику. Вы узнаете инструменты, которые вам нужно копать глубже. После этого не стесняйтесь пользоваться математикой :)
Если ваше исследование сосредоточено, например, на PDE-численностях (как мое), но вы также любите чистую математику - продолжайте и читайте лекцию. Это поможет вам? Может быть, может и нет. Но наверняка вам было интересно получать знания, и это важно.

Не думайте слишком много о том, какие лекции должны присутствовать. Все будет хорошо. Я думаю, что большинство математиков согласятся с этим утверждением.

4 comments
10 Mars 07/30/2017
Для записи я профессиональный философ (доктор философии по философии, работа как профессор, все это). Су ... по моему профессиональному мнению, этот вопрос не философский. Это эмпирически. ОП просит эмпирических обобщений о математиках. Предложение П.Сира состоит в том, что вопрос формулируется неточно или основан на неправильных предположениях. Это не делает вопрос или его возможные ответы философскими. (fwiw Я не согласен с P. Siehr о том, что вопрос, о котором было сказано, не может быть дан, и мои замечания не предназначены для поддержки комментариев amWhy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Следует отметить, что «философские» в математическом контексте обычно не относятся к области философии вообще, а почти к любой математически релевантной или вдохновленной мысли вне строгой и формальной математики. (Я надеюсь, что математики, использующие это слово, признают это!) Я согласен, что вопрос не является философским в истинном смысле этого слова, но я считаю, что он философский в том смысле, который используется многими математиками.
Mars 08/09/2017
Ах, это интересно @JoonasIlmavirta. Благодарю.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Ответ на ваш вопрос прост:
Нет, средний математик, специализирующийся, скажем, на алгебраической геометрии, не мог пройти without preparation экзамена на выпускник по дифференциальным уравнениям с частными производными.
Подожди, это хуже того: он не мог даже пройти экзамен по уровню бакалавра по уравнениям с частными производными.
Подождите, это еще хуже: он не мог сдавать экзамен in algebraic geometry на другой специализированной теме. Например, элементарный экзамен по классификации особенностей, если он специализирован в схемах Гильберта.
И наоборот, я был бы очень удивлен, если бы знаменитый аналитик, недавно получивший медаль Филдса, мог решить упражнения, например, в главе 5 « Алгебраических кривых» Фултона, стандартном введении в алгебраическую геометрию бакалавриата.

Some remarks
1) То, что я написал, легко подтвердить частным, но невозможно доказать публично:
Я не могу сказать, что в недавнем разговоре XXX, уважаемый вероятност, в изобилии доказал, что он понятия не имел, какова фундаментальная группа круга.

2) Если автор YYY написал статью о уравнениях с частными производными с использованием методов из аменабельной группы, это не означает, что другие специалисты в своей области знают какую-либо теорию групп.
Это даже не доказывает, что YYY много знал о теории групп: он, возможно, понял, что групповая теория была вовлечена в его исследование и опросила теоретика группы, который бы рассказал ему о поддающихся действию группах.

3) На яркой стороне некоторые очень выдающиеся математики, кажется, знают много о почти каждом предмете математики: Атия, Делинь, Серр, Тао приходят на ум.
Моя печальная гипотеза заключается в том, что их число является функцией, стремящейся к нулю с течением времени.
И хотя я не мог проанализировать экзамен, я знаю, что это означает для $ \ mathbb N $ -значной функции ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
В моем отделе есть люди, которые по крайней мере могут прокомментировать большое количество подполей в рамках широкой дисциплины. На ум приходит несколько геометров, у которых есть что-то умное, чтобы сказать о многих областях геометрии. Может быть, не все может знать. Но, надеюсь, по-прежнему можно многое узнать о многом. Я думаю, что это, наверное, достаточно хорошо, так как теперь есть еще много чего узнать!
1 Santropedro 07/28/2017
Жорж, Когда вы говорите: «И наоборот, я был бы очень удивлен, если бы известный печатник, недавно получивший медаль Филдса, мог решить упражнения, например, в главе 5« Алгебраические кривые Фултона », стандартное введение в базовую алгебраическую геометрию». сколько времени им позволялось думать каждое упражнение? Если мы дадим им достаточно времени, чтобы прочитать книгу и практиковать, я уверен, что они разрешат их. Разве они не могут читать книгу и должны решить их на месте, сколько времени?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Дорогой @Santropedro, конечно, если бы этот блестящий аналитик получил неделю или две, он мог прочитать книгу, а затем решить свои упражнения. То, что я хотел сделать, это то, что он, вероятно, не мог решить их с тем, что он знает прямо сейчас.
2 Michael Kay 07/28/2017
Несколько лет назад я подумал, что было бы забавно попробовать и заняться работой математической бумаги GCSE (для 16-летних), которую моя дочь привезла домой. В этом возрасте я бы без труда проплыл через него. Я обнаружил, что не могу ответить ни на один вопрос, хотя моя работа в области разработки программного обеспечения связана с регулярным воздействием довольно много математики.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: Да, это точно. ОП задал вопрос о предметах, с которыми was знаком математик. Вопрос о том, could ли он ознакомиться с таким предметом и как долго он будет проходить, совершенно другой и вполне коррелирует с понятием быть «блестящим».

MCS 07/29/2017.

Мои два цента: если вы не обладаете магическим мозгом или не являетесь гениальным эпохальным, вы, вероятно, обнаружите, что в любой момент времени у вас может быть только столько математики. Таким образом, по практическим соображениям - как в отношении написания диссертации, так и в отношении создания карьеры для себя - вы, вероятно, должны придерживаться одной или двух тесно связанных областей, чтобы у вас было достаточно опыта, чтобы сделать себя полезным для исследовательского учреждения или того, что вы хотите сделать с вашим будущим.

Это, как говорится, я обнаружил, что локоть смазки и умения в математике часто несправедливо не uncorrelated с другом. Скорее, умение часто зависит от того, сколько математики seen . С этой целью, я бы сказал, хотя вы определенно должны выбрать предметную область или две, чтобы назвать свои собственные, вы должны стремиться сохранять открытый ум и проявлять активный интерес к широкому спектру математических дисциплин, насколько это возможно.

Я часто нахожу, что чтение (даже если только случайно) о формах математики, не связанных с моими исследовательскими областями, дает множество новых идей и идей. Чем больше моделей и явлений вы знакомы, тем лучше вероятность того, что вы заметите что-то интересное, вторгающееся в вашу работу, и это может дать вам некоторую интуицию, которую вы, возможно, не имели бы в противном случае. По крайней мере, это поможет вам узнать, какие темы или источники (или коллаборационисты ...) искать, когда вы натыкаетесь на что-то вне вашей области, имеющей наибольший опыт.

Изменить: Еще одна вещь. Linear algebra. Перефразируя Бенедикта Гросса, нет такой вещи, как знание слишком большой линейной алгебры. Это everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Разумеется, в вопросе есть большая двусмысленность. Но, с любой интерпретацией, ответ был бы вообще «нет, большинство практиков какой-то части X не помнят всех X ... потому что им это не need ».

Таким образом, хотя бы потому, что воспоминания большинства даже очень умных людей исчезают со временем, в сознании математиков, которые работают над одним конкретным видом в течение нескольких лет, будет только незначительный остаток стандартных вещей. Помимо преподавания исчисления, мало что need помнить. Да, с точки зрения стипендии, это потенциально опасно, но, фактически, почти во всех профессиональных математических ситуациях существует скудная мотивация / вознаграждение за подлинную стипендию. Это как-то не вписывается в формулы повышения зарплаты, пребывания в должности и многое другое. (Не то, чтобы я сам заботился, пытаюсь ли я понять вещи «за плату», или нет ...)

Правда, большинство выпускных программ в США по математике делают попытку породить некоторую минимальную компетентность / оценку значительной части базовой математики, но после «прохождения отборочных» кажется, что подавляющее большинство людей не очень заинтересованы в дальнейшем преследовании широких стипендии, либо в принципе, либо для возможных прямых выгод.

Кроме того, я рассматриваю упрощенную (то, что я думаю) упрощенную картину, что «специализация» подобна «масштабированию с помощью микроскопа» и т. Д. Несомненно, это оправданное мировоззрение и субъектное мировоззрение, и, конечно же, своими действиями можно сделать это accurate описанием ... но я думаю, что это не соответствует действительности. В частности, я не вижу, чтобы настоящие идеи были настолько «локализованы», что «физический зум-микроскоп» был бы уместным. То есть мысль о том, что «математика» может каким-либо разумным образом изображаться как физическая вещь, влекущая за собой всю локальность, которая, как мне кажется, явственно диктует неточно. Опять же, да, мы можем make это точным, если ничего другого по невежеству или невежественному. Но...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

Вопрос о том, сколько математических тем знает средний математик, сильно зависит от двух определений:

  1. тема
  2. знать

Конечно, это также зависит от других определений (например, математики), но в меньшей степени.

Количественный подход для ответа на этот вопрос

Давайте определим уровни тем следующим образом, на основе википедии :

  1. Математика (1 тема на этом уровне)
  2. Чистая математика / Прикладная математика (2 тем на этом уровне)
  3. Алгебра, ..., Исследования операций (13 тем на этом уровне)
  4. Абстрактная алгебра, булева алгебра, ... (темы на этом уровне)

Теперь, опираясь на личный опыт и образ среднего математика, я могу ответить, насколько этот математик узнает об этом, для каждого уровня:

  1. Может пройти курс обучения по этой теме
  2. Может пройти курс по этим темам
  3. Может пройти курс обучения по некоторым из этих тем, может пройти вводный курс по большинству из этих тем
  4. Может пройти курс обучения по нескольким из этих тем (возможно, 5-15%)

Обратите внимание: если вы перейдете за пределы 4-го уровня, вы получите настолько конкретную информацию, что не можете найти полный курс обучения по этой теме. Отсюда мой вывод:

Основываясь на личном опыте, я ожидаю, что средний математик получит достойные знания от 5% до 15% тем на уровне выпускников


Linas 07/29/2017.

Я провел несколько лет над проектом, чтобы прочитать первые 1-2 главы по крайней мере одной математической книги на каждой полке университетской библиотеки. Это была попытка получить объективный обзор математики. Это было хорошо для меня, но это была роскошь: вынужденный марш через программу PhD и в академию предлагает мало времени для такого поведения. Тем не менее это важно: все самые лучшие, самые известные математики явно используют кросс-дисциплинарные инструменты в своей работе. И для меня лично это был своего рода уровень: внезапно все легче.

Специализация в одном поле - это вроде как поднимать тяжести только правой рукой, игнорируя сердцевину, спину и ноги: она оставляет вас на удивление слабым и неспособным. Когда вам нужно овладеть многими разными стилями абстракции, вы лучше разбираетесь в абстракции, в общем, даже в выбранной вами специальности. Это, для меня, было большим неожиданным сюрпризом.

Для более количественного вопроса, заданного здесь: могу ли я «пройти тест на курсе XYZ на уровне выпускников»? для 1-го, 1-го семестрового курса, возможно, возможно. Вроде. Экзамены имеют тенденцию задавать вопросы, используя выражения и обозначения, которые тесно связаны с учебником класса, и эти обозначения могут сильно отличаться от одного учебника к другому. Поэтому для этого потребуется подготовка. Дело в том, что такая подготовка становится проще.

1 comments
Lehs 07/29/2017
В университетской библиотеке должно быть много математических книг. Я бы никогда не смог узнать все названия и, конечно, не все определения во всех этих книгах. И просто невозможно запомнить такой контекст. Но профессиональный математик, вероятно, может понять контекст любой из книг, если ему это нужно.

R K Sinha 08/07/2017.

Существует большая нехватка учебников на уровне выпускников в математике, написанных с целью обучения «истинного субъекта» как можно быстрее. «Гладкие многообразия Синдхи» - одна из таких книг. Если бы многие книги такого типа стали доступны, тогда стипендия по математике не была бы смешной.


John Bentin 07/27/2017.

Конечно нет. Например, великий математик Гротендик был недостаточно хорошо знаком с арифметикой, чтобы распознать целое число $ 57 $ как несмежное. К многочисленным учетным записям этой истории можно получить доступ к интернет-поиску ключевых терминов; скажем, искать grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Это смешной пример! Гротендик думал о простых в общем. Ему просто было все равно, стоит ли $ 57 $ стать премьер-министром.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
История не составлена: Гротендик сделал эту глупую ошибку, в обмене после разговора, после того, как ее попросили быть более конкретным членом аудитории. Конечно, это ничего не меняет, потому что Гротендик был одним из самых глубоких арифметиков XX века. И действительно, 57 looks немного странно по какой-то психологической причине :-). Наоборот, многие математики думают, что я тяну их ногу, когда я говорю им, что $ 4999 $ is простым!
1 Dair 07/27/2017
Я считаю, что Терранс Тао также сказал, что 27 был премьер на отчете Колберта или что-то в этом роде: p (Не то, чтобы он не был хорошо знаком с простотами, просто забавным анекдотом). Однако лучший вопрос: откуда я это знаю? И что я делаю с моей жизнью?
1 quid 07/27/2017
«Но Гротендик, должно быть, знал, что 57 не является простым, не так ли? Абсолютно нет, сказал Дэвид Мамфорд из Университета Брауна. «Он не думает конкретно». «Потому что, конечно, он знал это в том смысле, что он мог ответить на вопрос:« Есть ли простое число? » правильно, и это становится размытым.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Если ответить на исходный вопрос тем, что кажется слегка безвкусным подходом, указывающим на неизбежные пробелы даже в знании величайших математиков, лучшим примером, чем глупый арифметический промах, было бы, когда Гротендик попросил коллегу об определенном определенном интеграле, с которым он столкнулся, и был удивлен, когда ему сказали, что его обычно называют «Нормальным распределением».

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags